数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=lnnxan2,求证:对

题目简介

数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=lnnxan2,求证:对

题目详情

数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=
lnnx
an2
,求证:对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有Tn<2.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)根据题意,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列,则对于n∈N*,总有2Sn=an+an2①成立
2Sn-1=an-1+an-1 2(n≥2)②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1);
∵an,an-1均为正数,
∴an-an-1=1(n≥2)
∴数列{an}是公差为1的等差数列,
又n=1时,2S1=a1+a12,解得a1=1
∴an=n.(n∈N*)
(2)证明:由(1)的结论,an=n;对任意实数x∈(1,e],有0<lnx<1,
对于任意正整数n,总有bn=
lnnx
an2
class="stub"1
n2

Tn≤class="stub"1
12
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
n2
<1+class="stub"1
1•2
+class="stub"1
2•3
+…+class="stub"1
(n-1)n

=1+1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
=2-class="stub"1
n
<2

对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有Tn<2

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