首页 > 已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f-1（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比

已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f-1（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比

题目简介

已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f-1（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比

题目详情

已知函数f（x）=x-4
x
+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f-1（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为
1
3
的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{
an
}为等差数列；
（Ⅱ）若cn=
an
•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4
x
+4（x≥4），即y=x-4
x
+4（x≥4），
∴x=
y
+2（y≥0），∴f-1(x)=(
x
+2)2 （x≥2），
∴an+1=f-1（an）=(
an
+2)2，
即
an+1
-
an
=2 （n∈N*）．
∴数列{
an
}是以
a1
=1为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
an
=1+2(n-1)=2n-1，
即an=(2n-1)2 （n∈N*）．
由b1=1，当n≥2时，bn-bn-1=1×(class="stub"1
3
)n-1=(class="stub"1
3
)n-1，
∴bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=1+class="stub"1
3
+(class="stub"1
3
)2+…+(class="stub"1
3
)n-1
=
1×(1-(class="stub"1
3
)n)
1-class="stub"1
3

=class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3n
)．
因而bn=class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3n
) （n∈N*）．
由cn=
an
•bn，得：cn=
(2n-1)2
•class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3n
)=class="stub"3
2
(2n-1)(1-class="stub"1
3n
)，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3
)+class="stub"3
2
(3-class="stub"3
32
)+class="stub"3
2
(5-class="stub"5
33
)+…+class="stub"3
2
(2n-1-class="stub"2n-1
3n
)
=class="stub"3
2
[(1+3+5+…+2n-1)-(class="stub"1
3
+class="stub"3
32
+class="stub"5
33
+…+class="stub"2n-1
3n
)]．
令Tn=class="stub"1
3
+class="stub"3
32
+class="stub"5
33
+…+class="stub"2n-1
3n
   ①
则class="stub"1
3
Tn=class="stub"1
32
+class="stub"3
33
+class="stub"5
34
+…+class="stub"2n-3
3n
+class="stub"2n-1
3n+1
  ②
①-②得，class="stub"2
3
Tn=class="stub"1
3
+2(class="stub"1
32
+class="stub"1
33
+…+class="stub"1
3n
)-class="stub"2n-1
3n+1

=class="stub"1
3
+
2×class="stub"1
9
(1-class="stub"1
3n-1
)
1-class="stub"1
3
-class="stub"2n-1
3n+1

=class="stub"1
3
+class="stub"1
3
(1-class="stub"1
3n-1
)-class="stub"2n-1
3n+1
．
∴Tn=1-class="stub"n+1
3n
．
又1+3+5+…+（2n-1）=n2．
∴Sn=class="stub"3
2
(n2-1+class="stub"n+1
3n
)．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网