已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴,抛物线上有两个动点A、B和一个定点M(2,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的中点到抛物线准线的距离是4,求-数学

题目简介

已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴,抛物线上有两个动点A、B和一个定点M(2,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的中点到抛物线准线的距离是4,求-数学

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已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴,抛物线上有两个动点A、B和一个定点M(2,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的中点到抛物线准线的距离是4,求抛物线方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由抛物线的顶点在原点,焦点在x轴,抛物线上有一个定点M(2,y0)可知抛物线的开口向右
故可设抛物线的方程为:y2=2px(p>0),抛物线的准线x=-class="stub"p
2

由抛物线的定义可知,AF=xA+class="stub"p
2
,BF=xB+class="stub"p
2
,MF=2+class="stub"p
2

∵AF,MF,BF成等差数列可得AF+BF=2MF即xA+xB+p=2(2+class="stub"p
2
)

∴xA+xB=4
由AB的中点到抛物线准线的距离是4可得,
xA+xB
2
+class="stub"p
2
=4

∴p=4,抛物线的方程为:y2=8x

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