首页 > 已知等差数列{an}的公差是d，Sn是该数列的前n项和、（1）试用d，Sm，Sn表示Sm+n，其中m，n均为正整数；（2）利用（1）的结论求“已知Sm=Sn（m≠n），求Sm+n”；（3）若各项均为正

已知等差数列{an}的公差是d，Sn是该数列的前n项和、（1）试用d，Sm，Sn表示Sm+n，其中m，n均为正整数；（2）利用（1）的结论求“已知Sm=Sn（m≠n），求Sm+n”；（3）若各项均为正

题目简介

已知等差数列{an}的公差是d，Sn是该数列的前n项和、（1）试用d，Sm，Sn表示Sm+n，其中m，n均为正整数；（2）利用（1）的结论求“已知Sm=Sn（m≠n），求Sm+n”；（3）若各项均为正

题目详情

已知等差数列{an}的公差是d，Sn是该数列的前n项和、
（1）试用d，Sm，Sn表示Sm+n，其中m，n均为正整数；
（2）利用（1）的结论求“已知Sm=Sn（m≠n），求Sm+n”；
（3）若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项和为Sn，试类比问题（1）的结论，写出一个相应的结论且给出证明，并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列{bn}，其中S10=5，S20=15，求数列{bn}的前50项和S50．”
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设等差数列{an}的首项是a1，
∴Sn=na1+
n(n-1)
2
d，Sm=ma1+
m(m-1)
2
d，
∴Sm+n=（m+n）a1+
(m+n)(m+n-1)
2
d
=（m+n）a1+
m2+n2+2nm-m-n
2
d
=ma1+
m(m-1)
2
d+na1+
n(n-1)
2
d+mnd
=Sm+Sn+mnd；
（2）由条件，可得Sm=ma1+
m(m-1)
2
d①，Sn=na1+
n(n-1)
2
d②，
②×n-①×m得：
（m-n）sn=class="stub"1
2
nm（m-1）d-class="stub"1
2
mn（n-1）d，
整理得mnd=-2sn，，
则Sm+n=Sm+Sn+mnd=2sn-2sn=0．
（3）类比得到等比数列的结论是：若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项和为Sn，则对任意正整数m、n，都有sm+n=sm+qmsn．
证明如下：不妨设m≤n，则sm+n=（b1+b2+…+bm）+（bm+1+bm+2+…+bn+m）
=sm+（b1qm+b2qm+…+bnqm）
=sm+qm（b1+b2+…+bn）
=sm+qmsn，
∴sm+n=sm+qmsn．
问题解答如下：由s20=s10+10=s10+q10s10，得q10=
s20-s10
s10
=class="stub"15-5
5
=2，
则s30=s10+20=s10+q10s20=5+2×15=35，
∴s50=s20+30=s20+q20s30=15+22×35=155．

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