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理科附加题：已知(1+12x)n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）a

题目简介

理科附加题：已知(1+12x)n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）a

题目详情

理科附加题：
已知(1+
1
2
x)n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．
设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）．
（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）．
题型：解答题难度：中档来源：扬州三模

答案

（Ⅰ）依题意ak(x)=
Ck-1n
(class="stub"1
2
x)k-1，k=1，2，3，…，n+1，
a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为Cn0=1，
C1n
•class="stub"1
2
=class="stub"n
2
，
C2n
•(class="stub"1
2
)2=
n(n-1)
8
，
所以2×class="stub"n
2
=1+
n(n-1)
8
，
解得n=8；            
（Ⅱ）F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）=
C0n
+2
C1n
(class="stub"1
2
x)+3
C2n
(class="stub"1
2
x)2…+n
Cn-1n
(class="stub"1
2
x)n-1+(n+1)
Cnn
(class="stub"1
2
x)n
F（2）-F（0）=2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+（n+1）Cnn
设Sn=Cn0+2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+（n+1）Cnn，
则Sn=（n+1）Cnn+nCnn-1…+3Cn2+2Cn1+Cn0
考虑到Cnk=Cnn-k，将以上两式相加得：2Sn=（n+2）（Cn0+Cn1+Cn2…+Cnn-1+Cnn）
所以Sn=（n+2）2n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2n-1-1
又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，
从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，
所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2n-1-1＜（n+2）2n-1．

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