首页 > 已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n=3n2an+S2n-1，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使

已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n=3n2an+S2n-1，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使

题目简介

已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n=3n2an+S2n-1，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使

题目详情

已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：
S2n
=3n2an+
S2n-1
，an≠0，n≥2，n∈N*．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）在
S2n
=3n2an+
S2n-1
中分别令n=2，n=3，及a1=a
得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，
因为an≠0，所以a2=12-2a，a3=3+2a．                          …（2分）
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）
经检验a=3时，an=3n，Sn=
3n(n+1)
2
，Sn-1=
3n(n-1)
2

满足
S2n
=3n2an+
S2n-1
．
（2）由
S2n
=3n2an+
S2n-1
，得
S2n
-
S2n-1
=3n2an，
即（Sn+Sn-1）（Sn-Sn-1）=3n2an，
即（Sn+Sn-1）an=3n2an，因为an≠0，
所以Sn+Sn-1=3n2，（n≥2），①…（6分）
所以Sn+1+Sn=3（n+1）2，②
②-①，得an+1+an=6n+3，（n≥2）．③…（8分）
所以an+2+an+1=6n+9，④
④-③，得an+2-an=6，（n≥2）
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）
因为a2=12-2a，a3=3+2a．
∴an=
a，n=1
3n+2a-6，n为奇数且n≥3
3n-2a+6，n为偶数
  …（12分）
要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an+1，
且当n为偶数时，an＜an+1，即a＜12-2a，
3n+2a-6＜3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），
3n-2a+6＜3（n+1）+2a-6（n为偶数），
解得class="stub"9
4
＜a＜class="stub"15
4
．
所以M=（class="stub"9
4
，class="stub"15
4
），当a∈M时，数列{an}是递增数列．              …（16分）

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