首页 > 已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列an的通项公式；（2）设由bn=Snn+c（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当c=-12

已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列an的通项公式；（2）设由bn=Snn+c（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当c=-12

题目简介

已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列an的通项公式；（2）设由bn=Snn+c（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当c=-12

题目详情

已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求数列an的通项公式；
（2）设由bn=
Sn
n+c
（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当c=-
1
2
时，数列bn是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列bn，设cn=
8
(an+7)•bn
（n∈N*），数列cn的前n项和为Tn，现有数列f（n），f(n)=
2bn
an-2
-Tn（n∈N*），
求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：闵行区一模

答案

（1）∵等差数列an中，公差d＞0，
∴
a2•a3=45
a1+a4=14
⇒
a2•a3=45
a2+a3=14
⇒
a2=5
a3=9
⇒d=4⇒an=4n-3（4分）
（2）Sn=
n(1+4n-3)
2
=n(2n-1)，bn=
Sn
n+c
=
n(2n-1)
n+c
，（6分）
由2b2=b1+b3得class="stub"12
2+c
=class="stub"1
1+c
+class="stub"15
3+c
，化简得2c2+c=0，c≠0，∴c=-class="stub"1
2
（8分）
反之，令c=-class="stub"1
2
，即得bn=2n，显然数列bn为等差数列，
∴当且仅当c=-class="stub"1
2
时，数列bn为等差数列．（10分）
（3）∵cn=class="stub"8
(an+7)•bn
=class="stub"1
(n+1)n
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

∴Tn=1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
++class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
=class="stub"n
n+1
f(n)=
2bn
an-2
-Tn=class="stub"4n
4n-5
-class="stub"n
n+1
=1+class="stub"5
4n-5
-1+class="stub"1
n+1
=class="stub"5
4n-5
+class="stub"1
n+1
（12分）
∵f(1)=-class="stub"9
2
，而n≥2时f(n+1)-f(n)=class="stub"5
4n-1
+class="stub"1
n+2
-class="stub"5
4n-5
-class="stub"1
n+1
=class="stub"-20
(4n-1)(4n-5)
-class="stub"1
(n+2)(n+1)
＜0
∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n）max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N*都成立，Mmin=2（16分）

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