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已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式Sn-n+1≥λa

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式Sn-n+1≥λa

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；
（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，∴（an+1+Sn+1）-（an+Sn）=2，
即an+1=
an+2
2
，（2分）∵a1=1，∴a2=class="stub"3
2
， a3=class="stub"7
4
；（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a1-2=-1，∵
an+1-2
an-2
=
an+2
2
-2
an-2
=class="stub"1
2
，∴{an-2}是首项为-1，公比为class="stub"1
2
的等比数列；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(class="stub"1
2
)n-1，∴an=2-(class="stub"1
2
)n-1，∵{an+Sn}是首项为a1+S1=2，公差为2的等差数列，∴an+Sn=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=2n-2+(class="stub"1
2
)n-1，（9分）
设存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，
即存在整数λ，使不等式n-1+(class="stub"1
2
)n-1≥λ[2-(class="stub"1
2
)n-1]对任意的n∈N*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立．
当n=2时，不等式化简为class="stub"3
2
≥class="stub"3
2
，成立；
当n≥3时，∵(Sn-n+1)-an=n-3+(class="stub"1
2
)n-2＞0，∴（Sn-n+1）＞an成立．
综上，知存在整数λ，使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，且λ的最大值为1．（14分）

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