已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an+1-λan}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（n∈N*），求实数

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已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求实数λ的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设数列{an}的公比为q＞0，
由条件，q3，3q2，q4成等差数列，∴6q2=q3+q4
解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．
∴数列{an}的通项公式为an=1×2n-1=2n-1．
（2）记bn=an+1-λan，则bn=2n-λ•2n-1=(2-λ)2n-1
若λ=2，bn=0，Sn=0不符合条件；
若λ≠2，则

bn+1

=2，数列{bn}为等比数列，首项为2-λ，公比为2．
此时Sn=

(2-λ)

1-2

(1-2n)=(2-λ)(2n-1)，
∵Sn=2n-1(n∈N*)，
∴λ=1．

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已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an+1-λan}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（n∈N*），求实数

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