首页 > 在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)（I）求数列{an}的通项公式；（II）令cn=(2an-1)2，Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn

在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)（I）求数列{an}的通项公式；（II）令cn=(2an-1)2，Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn

题目简介

在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)（I）求数列{an}的通项公式；（II）令cn=(2an-1)2，Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn

题目详情

在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
a n
=
2
an+1+an-1
(n∈N*)
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
，若Sn＜k恒成立，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：邯郸模拟

答案

（I）因为an+1-an=class="stub"2
an+1+an-1
，
所以an+12-an2-an+1+an=2，
即(an+1-class="stub"1
2
)2-(an-class="stub"1
2
)2=2，--（2分）
令bn=(an-class="stub"1
2
)2
bn+1-bn=2，
故{bn}是以class="stub"1
4
为首项，2为公差的等差数列．
所以bn=class="stub"1
4
+2(n-1)=class="stub"8n-7
4
，--（4分）
因为an≥1，故an=
1+
8n-7
2
．--（6分）
（II）因为cn=（2an-1）2=8n-7，
所以class="stub"1
cncn+1
=class="stub"1
(8n-7)(8n+1)
=class="stub"1
8
(class="stub"1
8n-7
-class="stub"1
8n+1
)，--（8分）
所以Sn=class="stub"1
c1c2
+class="stub"1
c2c3
+…+class="stub"1
cncn+1
=class="stub"1
8
(1-class="stub"1
9
+class="stub"1
9
-class="stub"1
17
+…+class="stub"1
8n-7
-class="stub"1
8n+1
)
=class="stub"1
8
(1-class="stub"1
8n+1
)＜class="stub"1
8
，--（10分）
因为Sn＜k恒成立，
故k≥class="stub"1
8
．--（12分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网