首页 > 已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求证：数列{1bn}为等差数列；（Ⅱ）设Tn=S2n-Sn，求证：当S=12+14

已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求证：数列{1bn}为等差数列；（Ⅱ）设Tn=S2n-Sn，求证：当S=12+14

题目简介

已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求证：数列{1bn}为等差数列；（Ⅱ）设Tn=S2n-Sn，求证：当S=12+14

题目详情

已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求证：数列{
1
bn
}为等差数列；
（Ⅱ）设Tn=S2n-Sn，求证：当S=
1
2
+
1
4
+
1
6
+…+
1
20
时，Tn+1＞Tn；
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k2=3，k∈R*，∴k=1都有1+
n
2
≤S2n≤
1
2
+n成立．
题型：解答题难度：中档来源：天津模拟

答案

证明：（Ⅰ）由bn=an-1得an=bn+1，代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1
整理得bn-bn+1=bnbn+1，（1分）
∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾
从而得class="stub"1
bn+1
-class="stub"1
bn
=1，（3分）
∵b1=a1-1=1
∴数列{class="stub"1
bn
}是首项为1，公差为1的等差数列（4分）
（Ⅱ）∵class="stub"1
bn
=n，则bn=class="stub"1
n
．
∴Sn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n

∴Tn=S2n-Sn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
+class="stub"1
n+1
+…+class="stub"1
2n
-(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
)
=class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
2n
（6分）
∵Tn+1-Tn=class="stub"1
n+2
+class="stub"1
n+3
+…+class="stub"1
2n+2
-(class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
2n
)
=class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
-class="stub"1
n+1
=class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+2
=class="stub"1
(2n+1)(2n+2)
＞0
∴Tn+1＞Tn．（8分）
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时1+class="stub"n
2
=1+class="stub"1
2
，S2n=1+class="stub"1
2
，class="stub"1
2
+n=class="stub"1
2
+1，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即1+class="stub"k
2
≤S2k≤class="stub"1
2
+k，
那么当n=k+1时，S2k+1=1+class="stub"1
2
+…+class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1
≥1+class="stub"k
2
+class="stub"1
2k+1
+…+class="stub"1
2k+1
＞1+class="stub"k
2
+
class="stub"1
2k+1
+…+class="stub"1
2k+1
2k个
=1+class="stub"k
2
+class="stub"1
2
=1+class="stub"k+1
2
（12分）
S2k+1=1+class="stub"1
2
+…+class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1
≤class="stub"1
2
+k+class="stub"1
2k+1
+…+class="stub"1
2k+1
＜class="stub"1
2
+k+
class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k
2k个
=class="stub"1
2
+(k+1)
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N*，不等式成立（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网