首页 > 设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，（t∈R，n∈N*）．（1）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；（2）当数列{bn}为等差数列时，

设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，（t∈R，n∈N*）．（1）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；（2）当数列{bn}为等差数列时，

题目简介

设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，（t∈R，n∈N*）．（1）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；（2）当数列{bn}为等差数列时，

题目详情

设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+
3
2
bn=0，（t∈R，n∈N*）．
（1）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；
（2）当数列{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak和ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当n=1时，2-(t+b1)+class="stub"3
2
b1=0，得b1=2t-4，
同理：n=2时，得b2=16-4t；n=3时，得b3=12-2t，则由b1+b3=2b2，得t=3．…（2分）
而当t=3时，2n2-(3+bn)n+class="stub"3
2
bn=0，得bn=2n
由bn+1-bn=2，知此时数列{bn}为等差数列．…（4分）
（2）由题意知，c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…
则当m=1时，T1=2≠2c2=4，不合题意，舍去；
当m=2时，T2=c1+c2=4=2c3，所以m=2成立； …（6分）
当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1，不合题意，舍去；
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，则Tm=a1+
2+…+2
b1个
+a2+
2+…+2
b2个
+a3+
2+…+2
b3个
+a4+…+ak+
2+…+2
bk个

=（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2(2k-1)+2×
(2+2k)k
2
=2k+1+2k2+2k-2，…（9分）
又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，
所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，即2k-k2-k+1=0，
所以2k+1=k2+k=k（k+1）
因为2k+1（k∈N*）为奇数，而k2+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解．
即当m≥3时，Tm≠2cm+1
综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…（12分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网