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> 在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-12)(1)求证{1Sn}为等差数列,并求an;(2)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(3
在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-12)(1)求证{1Sn}为等差数列,并求an;(2)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(3
题目简介
在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-12)(1)求证{1Sn}为等差数列,并求an;(2)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(3
题目详情
在数列{a
n
}中,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,a
1
=1,当n≥2时,
S
n
2
=
a
n
(
S
n
-
1
2
)
(1)求证
{
1
S
n
}
为等差数列,并求a
n
;
(2)设b
n
=
S
n
2n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(3)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N
*
,都有T
n
<
1
4
(m-8)
成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)证明:∵当n≥2时,
S
n
2
=
a
n
(
S
n
-
class="stub"1
2
)
∴
S
n
2
=
(S
n
-
S
n-1
)(
S
n
-
class="stub"1
2
)
∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=
class="stub"1
S
n
-
class="stub"1
S
n-1
∵a1=1,∴
class="stub"1
S
1
=1
∴
{
class="stub"1
S
n
}
是1为首项,2为公差的等差数列,
∴
class="stub"1
S
n
=1+2(n-1)=2n-1
∴
S
n
=
class="stub"1
2n-1
∴当n≥2时,an=
-
class="stub"2
(2n-1)(2n-3)
∵a1=1,
∴an=
1,n=1
-
class="stub"2
(2n-1)(2n-3)
,n≥2
;
(2)bn=
S
n
2n+1
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
),
∴Tn=
class="stub"1
2
[1-
class="stub"1
3
+
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
+…+
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2n+1
)=
class="stub"n
2n+1
;
(3)令T(x)=
class="stub"x
2x+1
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2x+1
)
,则T(x)在[1,+∞)上是增函数
当x≥1时,
class="stub"1
3
≤T(x)<
class="stub"1
2
,∴Tn<
class="stub"1
2
令
class="stub"1
4
(m-8)≥
class="stub"1
2
,则m≥10,
∴存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<
class="stub"1
4
(m-8)
成立,m的最小值为10.
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题目简介
在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-12)(1)求证{1Sn}为等差数列,并求an;(2)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(3
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(1)求证{
(2)设bn=
(3)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<
答案
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-
∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=
∵a1=1,∴
∴{
∴
∴Sn=
∴当n≥2时,an=-
∵a1=1,
∴an=
(2)bn=
∴Tn=
(3)令T(x)=
当x≥1时,
令
∴存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<