在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-12)(1)求证{1Sn}为等差数列,并求an;(2)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(3

题目简介

在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-12)(1)求证{1Sn}为等差数列,并求an;(2)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(3

题目详情

在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-
1
2
)

(1)求证{
1
Sn
}
为等差数列,并求an
(2)设bn=
Sn
2n+1
,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn
1
4
(m-8)
成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵当n≥2时,Sn2=an(Sn-class="stub"1
2
)

Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-class="stub"1
2
)

∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=class="stub"1
Sn
-class="stub"1
Sn-1

∵a1=1,∴class="stub"1
S1
=1

{class="stub"1
Sn
}
是1为首项,2为公差的等差数列,
class="stub"1
Sn
=1+2(n-1)=2n-1

Sn=class="stub"1
2n-1

∴当n≥2时,an=-class="stub"2
(2n-1)(2n-3)

∵a1=1,
∴an=
1,n=1
-class="stub"2
(2n-1)(2n-3)
,n≥2

(2)bn=
Sn
2n+1
=class="stub"1
2
class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
),
∴Tn=class="stub"1
2
[1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1

(3)令T(x)=class="stub"x
2x+1
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2x+1
)
,则T(x)在[1,+∞)上是增函数
当x≥1时,class="stub"1
3
≤T(x)<class="stub"1
2
,∴Tn<class="stub"1
2

class="stub"1
4
(m-8)≥class="stub"1
2
,则m≥10,
∴存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<class="stub"1
4
(m-8)
成立,m的最小值为10.

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