设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一个根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)证明:数列{1Sn-1}是等差数列;(2)设方程x2-anx-an=0的另一个根为xn,数列{

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一个根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)证明:数列{1Sn-1}是等差数列;(2)设方程x2-anx-an=0的另一个根为xn,数列{

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一个根为Sn-1,n=1,2,3,….
(1)证明:数列{
1
Sn-1
}
是等差数列;
(2)设方程x2-anx-an=0的另一个根为xn,数列{
1
2nxn
}
的前n项和为Tn,求22013(2-T2013)的值;
(3)是否存在不同的正整数p,q,使得S1,Sp,Sq成等比数列,若存在,求出满足条件的p,q,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明∵Sn-1是方程x2-anx-an=0的根,n=1,2,3,…
(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0
当n=1时,a1=S1,
(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0
解得S1=a1=class="stub"1
2

class="stub"1
S1-1
=-2
…(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
(Sn-1)2-(Sn-Sn-1)(Sn-1)-(Sn-Sn-1)=0
化简得SnSn-1-2Sn+1=0,
Sn=class="stub"-1
Sn-1-2

class="stub"1
Sn-1
=class="stub"1
Sn-1-1
-1

class="stub"1
Sn-1
-class="stub"1
Sn-1-1
=-1
,又class="stub"1
S1-1
=-2
…(5分)
∴数列{class="stub"1
Sn-1
}
是以-2为首项,-1为公差的等差数列          …(6分)
(2)由(1)得,class="stub"1
Sn-1
=-2-(n-1)=-n-1

Sn-1=-class="stub"1
n+1
,带入方程得,(-class="stub"1
n+1
)2-an(-class="stub"1
n+1
)-an=0
,∴an=class="stub"1
n(n+1)

∴原方程为x2-class="stub"1
n(n+1)
x-class="stub"1
n(n+1)
=0

xn=class="stub"1
n

class="stub"1
2nxn
=class="stub"1
n2n
…(8分)
Tn=class="stub"1
21
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n
2n

class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
22
+class="stub"2
23
+class="stub"3
24
+…+class="stub"n
2n+1

①-②得class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1

=
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"n
2n+1
=1-class="stub"2+n
2n+1
…(11分)Tn=2-class="stub"2+n
2n

∴22013(2-T2013)=2015…(12分)
(3)由(1)可得Sn=class="stub"n
n+1

假设存在不同的正整数p,q使得S1,Sp,Sq成等比数列
sp2=s1sq
(class="stub"p
p+1
)2=class="stub"q
2(q+1)

class="stub"q
2(q+1)
=class="stub"1
2
-class="stub"1
2(q+1)
<class="stub"1
2
(14分)
(class="stub"p
p+1
)2<class="stub"1
2

化简可得,p2-2p-1<0
1-
2
<p<1+
2

∵p∈N*且p>1
∴p=2
class="stub"q
2(q+1)
=class="stub"4
9

∴q=8
∴存在不同的正整数p=2,q=8使得S1,Sp,Sq成等比数列(16分)

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