首页 > 已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn

已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn

题目简介

已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn

题目详情

已知数列{an}是首项为a1=
1
4
，公比q=
1
4
的等比数列，设bn+2=3log
1
4
an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意知，an=(class="stub"1
4
)n(n∈N*)
∵bn=3logclass="stub"1
4
an-2，b1=3logclass="stub"1
4
a1-2=1
∴bn+1-bn=3logclass="stub"1
4
an+1-3logclass="stub"1
4
an=3logclass="stub"1
4
an+1
an
=3logclass="stub"1
4
q=3
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列（7分）
（2）由（1）知，an=(class="stub"1
4
)n，bn=3n-2(n∈N*)
∴cn=(3n-2)×(class="stub"1
4
)n，(n∈N*)
∴Sn=1×class="stub"1
4
+4×(class="stub"1
4
)2+7×(class="stub"1
4
)3++(3n-5)×(class="stub"1
4
)n-1+(3n-2)×(class="stub"1
4
)n，
于是class="stub"1
4
Sn=1×(class="stub"1
4
)2+4×(class="stub"1
4
)3+7×(class="stub"1
4
)4++(3n-5)×(class="stub"1
4
)n+(3n-2)×(class="stub"1
4
)n+1
两式相减得class="stub"3
4
Sn=class="stub"1
4
+3[(class="stub"1
4
)2+(class="stub"1
4
)3++(class="stub"1
4
)n]-(3n-2)×(class="stub"1
4
)n+1=class="stub"1
2
-(3n+2)×(class="stub"1
4
)n+1．
∴Sn=class="stub"2
3
-class="stub"12n+8
3
×(class="stub"1
4
)n+1(n∈N*)（14分）

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