已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5=22，（1）求通项an；（2）若数列{bn}满足bn=Snn+c，是否存在非零实数c，使得{bn}为等差数列？若

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已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
（1）求通项a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

n+c

，是否存在非零实数c，使得{b_n}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由等差数列的性质，得a3+a4=a2+a5=22，
又∵a3•a4=117，∴a3、a4是方程x2-22x+117=0的解，
结合公差大于零，解得a3=9，a4=13，
∴公差d=a4-a3=13-9=4，首项a1=a3-2d=1．
因此，数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（2）由（1）知：Sn=

n(1+4n-3)

=2n2-n，
所以bn=

S n

n+c

2n2-n

n+c

．
故b1=class="stub"1

c+1

，b2=class="stub"6

c+2

，b3=class="stub"15

c+3

．
令2b2=b1+b3，即class="stub"12

c+2

=class="stub"1

c+1

+class="stub"15

c+3

，化简得2c2+c=0．
因为c≠0，故c=-class="stub"1

，此时bn=

2n2-n

n-class="stub"1

=2n．
当n≥2时，bn-bn-1=2n-2（n-1）=2，符合等差数列的定义
∴c=-class="stub"1

时，bn=2n．（n∈N+）
由此可得，当c=-class="stub"1

时，{bn}成以2为首项、公差为2的等差数列．

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已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5=22，（1）求通项an；（2）若数列{bn}满足bn=Snn+c，是否存在非零实数c，使得{bn}为等差数列？若

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