首页 > 设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式SpSq＜Sm2成立；（3）是否存在常

设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式SpSq＜Sm2成立；（3）是否存在常

题目简介

设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式SpSq＜Sm2成立；（3）是否存在常

题目详情

设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和
（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式SpSq＜Sm2成立；
（3）是否存在常数k和等差数列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：钟祥市模拟

答案

（1）在等差数列{an}中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差数列，
∴Sn+（S3n-S2n）=2（S2n-Sn）
∴S3n=3 S2n-3 Sn=60…（4分）
（2）SpSq=class="stub"1
4
pq（a1+ap）（a1+aq）
=class="stub"1
4
pq[a12+a1（ap+aq）+apaq]
=class="stub"1
4
pq（a12+2a1am+apaq）＜class="stub"1
4
（class="stub"p+q
2
）2[a12+2a1am+（
ap+aq
2
）2]
=class="stub"1
4
m2（a12+2a1am+am2）=[class="stub"1
2
m（a1+am）]2
=Sm2…（8分）
（3）假设存在常数k和等差数列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立．
设an=pn+q（p，q为常数），则Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1，
Sn=class="stub"1
2
pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=class="stub"3
2
pn2+(q-class="stub"p
2
)n-(p+q)，
则 kp2n2+2kpqn+kp2-1=class="stub"3
2
pn2+(q-class="stub"p
2
n)-(p+q)，
故有
kp2=class="stub"3
2
p…①
2kpq=q-class="stub"p
2
…②
kq2-1=-(p+q)…③
，

由①得p=0或 kp=class="stub"3
2
．当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p≠0把 kp=class="stub"3
2
代入②，得 q=-class="stub"p
4
把 q=-class="stub"p
4
代入③，又 kp=class="stub"3
2
得 p=class="stub"32
27
，从而 q=-class="stub"8
27
，k=class="stub"81
64
．故存在常数 k=class="stub"81
64
及等差数列 an=class="stub"32
27
n-class="stub"8
27
满足题意．

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