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已知数列{an}中，a1=12，点（n，2an+1-an）在直线y=x上，n∈N*．（1）令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Sn、Tn分别为

题目简介

已知数列{an}中，a1=12，点（n，2an+1-an）在直线y=x上，n∈N*．（1）令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Sn、Tn分别为

题目详情

已知数列{an}中，a1=
1
2
，点（n，2an+1-an）在直线y=x上，n∈N*．
（1）令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
Sn+λTn
n
}为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵点（n，2an+1-an）在直线y=x上，∴2an+1-an=n
∵bn=an+1-an-1，∴2bn+1=an+1-an-1=bn，
∵a1=class="stub"1
2
，2an+1-an=n
∴a2=class="stub"3
4
，
∴b1=a2-a1-1=-class="stub"3
4
≠0
∴{bn}为等比数列；
（2）an+1-an=1+bn=1-class="stub"3
4
×(class="stub"1
2
)n-1
叠加可得：an=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=n-2+3×(class="stub"1
2
)n
（3）存在λ=2，使数列{
Sn+λTn
n
}是等差数列．
Sn=
n(n-3)
2
+3[1-(class="stub"1
2
)n]，Tn=class="stub"3
2
[(class="stub"1
2
)n-1]
∴
S1+λT1
1
=class="stub"1
2
-class="stub"3
4
λ，
S2+λT2
2
=class="stub"10-9λ
16
，
S3+λT3
3
=class="stub"42-21λ
48

数列{
Sn+λTn
n
}是等差数列
∴2×class="stub"10-9λ
16
=class="stub"1
2
-class="stub"3
4
λ+class="stub"42-21λ
48
，∴λ=2
当λ=2时，
Sn+λTn
n
=class="stub"n-3
2
，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

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