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> 数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn-an2=1.(Ⅰ)求证数列{S2n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=24S4n-1,求数列{bn}的前n项和Tn,并
数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn-an2=1.(Ⅰ)求证数列{S2n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=24S4n-1,求数列{bn}的前n项和Tn,并
题目简介
数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn-an2=1.(Ⅰ)求证数列{S2n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=24S4n-1,求数列{bn}的前n项和Tn,并
题目详情
数列{a
n
}各项均为正数,其前n项和为S
n
,且满足
2
a
n
S
n
-
a
n
2
=1
.
(Ⅰ)求证数列{
S
2n
}为等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
2
4S
4n
-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
,并求使T
n
>
1
6
(m
2
-3m) 对所有的n∈N
*
都成立的最大正整数m的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)证明:∵
2
a
n
S
n
-
a
n
2
=1
,∴当n≥2时,
2
(S
n
-
S
n-1
)
S
n
-
(S
n
-
S
n-1
)
2
=1
,
整理得,
S
n
2
-
S
n-1
2
=1(n≥2),(2分)
又
S
1
2
=1
,(3分)
∴数列{
S
2n
}为首项和公差都是1的等差数列. (4分)
∴
S
2n
=n,
又Sn>0,∴Sn=
n
(5分)
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=
n
-
n-1
,又a1=S1=1适合此式
∴数列{an}的通项公式为an=
n
-
n-1
;((7分)
(Ⅱ)∵bn=
class="stub"2
4S
4n
-1
=
class="stub"2
(2n-1)(2n+1)
=
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
(8分)
∴Tn=1-
class="stub"1
3
+
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
+…+
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
=1-
class="stub"1
2n+1
=
class="stub"2n
2n+1
(10分)
∴Tn≥
class="stub"2
3
,
依题意有
class="stub"2
3
>
class="stub"1
6
(m2-3m),解得-1<m<4,
故所求最大正整数m的值为3 (12分)
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等差数列{an}中,ap=q,aq=p,(p,q∈N,
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已知实数a,b(a<b)的等差中项是32,正
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题目简介
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(Ⅰ)求证数列{
(Ⅱ)设bn=
答案
整理得,Sn2-Sn-12=1(n≥2),(2分)
又S12=1,(3分)
∴数列{
∴
又Sn>0,∴Sn=
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=
∴数列{an}的通项公式为an=
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∴Tn=1-
∴Tn≥
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