首页 > 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，（Ⅰ）设bn=an2n-1，证明：（Ⅰ）数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Sn．-数学

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，（Ⅰ）设bn=an2n-1，证明：（Ⅰ）数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Sn．-数学

题目简介

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，（Ⅰ）设bn=an2n-1，证明：（Ⅰ）数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Sn．-数学

题目详情

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，（Ⅰ）设bn=
an
2n-1
，证明：
（Ⅰ）数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{
n2
an
}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：由an+1=2an+2n得bn+1=
an+1
2n
=
2an+2n
2n
=
an
2n-1
+1=bn+1
又b1=a1=1，因此数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
an
2n-1
，
∴an=n•2n-1，
∴
n2
an
=class="stub"n
2n-1

则Sn=1+class="stub"2
2
+class="stub"3
22
+class="stub"4
23
+…+class="stub"n
2n-1
，…(1)
class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+class="stub"4
24
+…class="stub"n-1
2n-1
+class="stub"n
2n
，…(2)
（1）-（2）得class="stub"1
2
Sn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n
．
=
1•[1-(class="stub"1
2
)n]
1-class="stub"1
2
-class="stub"n
2n
=2-(2+n)class="stub"1
2n
．
∴Sn=4-(2+n)class="stub"1
2n-1

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