已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，数列{bn}中b1=8，bn=64bn+1．（1）求{bn}的通项bn；（2）证明{an}是等差数列；（3）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有a

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已知数列{a_n}的前n项和为Sn=3n2+5n，数列{b_n}中b₁=8，b_n=64b_n+1．
（1）求{b_n}的通项b_n；
（2）证明{a_n}是等差数列；
（3）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有a_n=log_ab_n+b成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）bn=64bn+1⇒

bn+1

=class="stub"1

，
∴q=class="stub"1

，
∴bn=83-2n…（3分）
（2）当n≥2时：an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2
又n=1时：a1=S1=8=6×1+2
∴an=6n+2．…（6分）
∴an-an-1=6n+2-6（n-1）-2=6
∴{an}是等差数列 …（7分）
（3）假设存在这样的a、b，使得对一切自然数n都有an=logabn+b成立，则6n+2=logabn+b=loga83-2n+b=(3-2n)loga8+b=nloga8-2+b+3loga8．
令

6=loga8-2

2=b+3loga8

…（10分）
即

a6=8-2=(class="stub"1

b=2-3loga8

，
∴

a=class="stub"1

b=11.

∴存在这样的数a=class="stub"1

，b=11．…（12分）

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已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，数列{bn}中b1=8，bn=64bn+1．（1）求{bn}的通项bn；（2）证明{an}是等差数列；（3）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有a

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