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已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（12）n-1+2（n为正整数）．（1）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，若Tn=c1+c2

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（12）n-1+2（n为正整数）．（1）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，若Tn=c1+c2

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（
1
2
）n-1+2（n为正整数）．
（1）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=
n+1
n
an，若Tn=c1+c2+…+cn，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）在Sn=-an-（class="stub"1
2
）n-1+2中令n=1可得s1=-a1-1+2=a1即a1=class="stub"1
2

当n≥2时an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(class="stub"1
2
)n-1
∴2an=an-1+(class="stub"1
2
)n-1即2nan=2n-1an-1+1
∵bn=2nan，
∴bn-bn-1=1即当n≥2时bn-bn-1=1
又∵b1=2a1=1
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
∴bn=1+(n-1)×1=n=2nan
∴an=class="stub"n
2n

（2）由（1）得cn=(n+1)(class="stub"1
2
)n，
∴Tn=2×class="stub"1
2
+3×(class="stub"1
2
)2+4×(class="stub"1
2
)3+…+（n+1）(class="stub"1
2
)n  ①
class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3+4×(class="stub"1
2
)4+…+（n+1）(class="stub"1
2
)n+1   ②
由①-②得class="stub"1
2
Tn=1+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n-（n+1）(class="stub"1
2
)n+1=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n

∴Tn=3-class="stub"n+3
2n

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