首页 > 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1≠a2，am、ak、ah都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．（Ⅰ）证明：m+h=2k；（Ⅱ）证明：Sm•Sh≤Sk2；（III）若S

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1≠a2，am、ak、ah都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．（Ⅰ）证明：m+h=2k；（Ⅱ）证明：Sm•Sh≤Sk2；（III）若S

题目简介

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1≠a2，am、ak、ah都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．（Ⅰ）证明：m+h=2k；（Ⅱ）证明：Sm•Sh≤Sk2；（III）若S

题目详情

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1≠a2，am、ak、ah都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．
（Ⅰ）证明：m+h=2k；
（Ⅱ）证明：Sm•Sh≤Sk2；
（III）若
Sm
、
Sk
、
Sh
也成等差数列，且a1=2，求数列{
1
Sn-S1
}(n∈N*，n≥3)的前n项和Tn＜
5
24
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）设数列{an}的公差为d，由题意a1＜0，d＞0．
∵ah-ak=ak-am，∴（h-k）d=（k-m）d，∴m+h=2k．…（2分）
（II）Sm•Sh=
m(a1+am)
2
•
h(a1+ah)
2
=class="stub"mh
4
(a1+am)(a1+ah)≤class="stub"1
4
•[class="stub"m+h
2
]2[
a1+am+a1+ah
2
]2=class="stub"1
4
(a1+ak)2k2=[
(a1+ak)k
2
]2=
S2k
，∴Sm•Sh≤Sk2．…（6分）
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a1，a2，a3满足a3-a2=a2-a1．…（7分）
由
Sm
、
Sk
、
Sh
也成等差数列，则
a1
+
3a1+3d
=2
2a1+d
．
两边平方得2
a1(3a1+3d)
=4a1+d，
再两边平方整理得4a12-4a1d+d2=0，即（2a1-d）2=0，
∴d=2a1=4．…（9分）
∴an=（2n-1）a，Sn=2n2，
∴
Sn
=
2
n．，显然这时数列{an}满足题意．                         …（10分）
∴Sn-S1=2n2-2=2（n2-1）．
∴class="stub"1
Sn-S1
=class="stub"1
2
•class="stub"1
n2-1
=class="stub"1
4
(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n+1
)(n∈N*，n≥3．)…（12分）
则Tn=class="stub"1
4
(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
n-2
-class="stub"1
n
+class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n+1
)=class="stub"1
4
(class="stub"1
2
+class="stub"1
3
-class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
=class="stub"1
4
[class="stub"5
6
-class="stub"2n+1
n(n+1)
]＜class="stub"5
24
．…（14分）

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