首页 > 在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列{an2n}为等差数列；（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(n•3nan)1m≤m2-1m-数学

在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列{an2n}为等差数列；（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(n•3nan)1m≤m2-1m-数学

题目简介

在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列{an2n}为等差数列；（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(n•3nan)1m≤m2-1m-数学

题目详情

在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）．
（1）求证：数列{
an
2n
}为等差数列；
（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(
n•3n
an
)
1
m
≤
m2-1
m
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）由an+1=2an+2n+1变形得：
an+1
2n+1
=
an
2n
+1，即
an+1
2n+1
-
an
2n
=1
故数列{
an
2n
}是以
a1
2
=1为首项，1为公差的等差数列
（II）由（I）得an=n•2n(m-n+1)(
n•3n
an
)class="stub"1
m
≤
m2-1
m
即(m-n+1)(class="stub"3
2
)class="stub"n
m
≤
m2-1
m

令f(n)=(m-n+1)•(class="stub"3
2
)class="stub"n
m
，则f(n+1)=(m-n)•(class="stub"3
2
)class="stub"n+1
m

当m＞n≥2时，
f(n)
f(n+1)
=class="stub"m-n+1
m-n
•(class="stub"2
3
)class="stub"1
m
=(1+class="stub"1
m-n
)•(class="stub"2
3
)class="stub"1
m
≥(1+class="stub"1
m-2
)•(class="stub"2
3
)class="stub"1
m

又(1+class="stub"1
m-2
)m=1+
C1m
•class="stub"1
m-2
+＞1+class="stub"m
m-2
＞2＞class="stub"3
2
∴1+class="stub"1
m-2
＞(class="stub"3
2
)class="stub"1
m

则
f(n)
f(n+1)
＞1，则f(n)为递减数列．
当m=n时，f（n）＞f（n+1）
∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列．
∴f(x)max=f(2)=(class="stub"9
4
)class="stub"1
m
(m-1)，故只需证(class="stub"9
4
)class="stub"1
m
(m-1)≤
m2-1
m

要证：(m-n+1)(class="stub"3
2
)class="stub"n
m
≤
m2-1
m
即证class="stub"9
4
≤(class="stub"m+1
m
)m=(1+class="stub"1
m
)m，而m≥2时，(1+class="stub"1
m
)m≥
C0m
+
C1m
•class="stub"1
m
+
C0m
•class="stub"1
m2
=2+class="stub"1
m2
•
m(m-1)
2

=2+class="stub"m-1
2m
=2+class="stub"1
2
-class="stub"1
2m
≥2+class="stub"1
2
-class="stub"1
2×2
=class="stub"9
4

故原不等式成立．

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