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> 对于数列an,(1)已知an是一个公差不为零的等差数列,a5=6.①当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…是等比数
对于数列an,(1)已知an是一个公差不为零的等差数列,a5=6.①当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…是等比数
题目简介
对于数列an,(1)已知an是一个公差不为零的等差数列,a5=6.①当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…是等比数
题目详情
对于数列a
n
,(1)已知a
n
是一个公差不为零的等差数列,a
5
=6.
①当a
3
=2时,若自然数n
1
,n
2
,…,n
t
,…满足5<n
1
<n
2
<…<n
t
<…,且a
3
,a
5
,a
n1
,a
n2
,…,a
nt
,…是等比数列,试用t表示n
t
;
②若存在自然数n
1
,n
2
,…,n
t
,…满足5<n
1
<n
2
<…<n
t
<…,且a
3
,a
5
,a
n1
,a
n2
,…,a
nt
,…构成一个等比数列.求证:当a
3
是整数时,a
3
必为12的正约数.
(2)若数列a
n
满足a
n+1
a
n
+3a
n+1
+a
n
+4=0,且a
2009
小于数列a
n
中的其他任何一项,求a
1
的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:江苏模拟
答案
(1)①因为a3=2,a5=6,所以,公差d=
a
5
-
a
3
2
=2
,
从而an=a5+(n-5)d=2n-4(2分)
又a3,a5,an1,an2,ant,是等比数列,所以公比q=
a
5
a
3
=3
,所以
ant=a5•3t=2•3t+1,t∈N*.
又ant=2nt-4,所以2nt-4=2•3t+1,所以
nt=3t+1+2,t∈N*.(4分)
②因为n1>5时,a3,a5,an1成等比数列,所以a3an1=a52,即
a
n1
=
a
25
a
3
=
class="stub"36
a
3
.(6分)
所以当n≥3时,
a
n1
=
a
3
+(
n
1
-3)•
a
5
-
a
3
2
=
a
3
+
6-
a
3
2
(
n
1
-3)
,
所以
class="stub"36
a
3
=
a
3
+
6-
a
3
2
(
n
1
-3)
,
即
class="stub"36
a
3
-
a
3
=
6-
a
3
2
(
n
1
-3)
,
所以
36-
a
23
a
3
=
6-
a
3
2
(
n
1
-3)
.
因为6-
a
3
≠0,所以
6+
a
3
a
3
=
n
1
-3
2
,解得
n
1
=5+
class="stub"12
a
3
.
因为n1是整数,且n1>5,所以
class="stub"12
a
3
是正整数,从而整数a3必为12的正约数.(8分)
(2)由an+1an+3an+1+an+4=0,得an+1an+2an+1+2an+4=an-an+1,
即(an+1+2)(an+2)=(an+2)-(an+1+2).(*)(10分)
由(*)知:若存在ak=-2,则ak+1=-2;若存在ak+1=-2,则ak=-2,所以an是常数列,与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾,因此(an+1+2)(an+2)≠0.
由(*)式知
class="stub"1
a
n+1
+2
-
class="stub"1
a
n
+2
=1
,从而数列
{
class="stub"1
a
n
+2
}
是首项为
class="stub"1
a
1
+2
,公差为1的等差数列,即
class="stub"1
a
n
+2
=
class="stub"1
a
1
+2
+(n-1)
.(12分)
方法一由于数列
{
class="stub"1
a
n
+2
}
是递增数列,且a2009小于数列{an}中的其他任何一项,即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项,所以a2009+2<0,
且a2010+2>0,这是因为若a2009+2>0,则由
class="stub"1
a
2009
+2
<
class="stub"1
a
2010
+2
,
得a2009+2>a2010+2>0,即a2009>a2010,与
“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾:
若
a
2010
+2<0,则由
class="stub"1
a
2009
+2
<
class="stub"1
a
2010
+2
,得
a
2010
+2<
a
2009
+2<0,即
a
2009
>
a
2010
,与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾:因此,
a
2009
+2<0,且
class="stub"1
a
2009
+2
=
class="stub"1
a
2010
+2
-1>-1,从而-1<
class="stub"1
a
2009
+2
<0
,
即
-1<
class="stub"1
a
1
+2
+2008<0,即-2009<
class="stub"1
a
1
+2
<-2008
,
即
-
class="stub"1
2008
<
a
1
+2<-
class="stub"1
2009
,
即-1
<
class="stub"1
2008
-2<
a
1
<-
class="stub"1
2009
-2,即-
class="stub"4017
2008
<
a
1
<-
class="stub"4019
2009
.(15分)
综上,a1的取值范围是
(-
class="stub"4017
2008
,-
class="stub"4019
2009
).(16分)
方法二
class="stub"1
a
n
+2
=n-(1-
class="stub"1
a
1
+2
),即
a
n
+2=
class="stub"1
n-(1-
class="stub"1
a
1
+2
)
,所以
当n<1-
class="stub"1
a
1
+2
时,an+2单调递增,且an+2<0;
当n>1-
class="stub"1
a
1
+2
时,2+an单调递减,且an+2>0.
由于a2009小于数列{an}中的其他任何一项,即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项,
所以a2009+2<0,且a2010+2>0,
即2009<1-
class="stub"1
a
1
+2
<2010
,
即-2009<
class="stub"1
a
1
+2
<-2008
,
即-
class="stub"1
2008
<
a
1
+2<
class="stub"1
2009
;
解得-
class="stub"4017
2008
<
a
1
<-
class="stub"4019
2009
.
综上,a1的取值范围是
(-
class="stub"4017
2008
,-
class="stub"4019
2009
)
.(16分)
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题目简介
对于数列an,(1)已知an是一个公差不为零的等差数列,a5=6.①当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…是等比数
题目详情
①当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…是等比数列,试用t表示nt;
②若存在自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…构成一个等比数列.求证:当a3是整数时,a3必为12的正约数.
(2)若数列an满足an+1an+3an+1+an+4=0,且a2009小于数列an中的其他任何一项,求a1的取值范围.
答案
从而an=a5+(n-5)d=2n-4(2分)
又a3,a5,an1,an2,ant,是等比数列,所以公比q=
ant=a5•3t=2•3t+1,t∈N*.
又ant=2nt-4,所以2nt-4=2•3t+1,所以
nt=3t+1+2,t∈N*.(4分)
②因为n1>5时,a3,a5,an1成等比数列,所以a3an1=a52,即an1=
所以当n≥3时,
an1=a3+(n1-3)•
所以
即
所以
因为6-a3≠0,所以
因为n1是整数,且n1>5,所以
(2)由an+1an+3an+1+an+4=0,得an+1an+2an+1+2an+4=an-an+1,
即(an+1+2)(an+2)=(an+2)-(an+1+2).(*)(10分)
由(*)知:若存在ak=-2,则ak+1=-2;若存在ak+1=-2,则ak=-2,所以an是常数列,与“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾,因此(an+1+2)(an+2)≠0.
由(*)式知
方法一由于数列{
且a2010+2>0,这是因为若a2009+2>0,则由
得a2009+2>a2010+2>0,即a2009>a2010,与
“a2009小于数列an中的其他任何一项”矛盾:若a2010+2<0,则由
即-1<
即-
即-1<
综上,a1的取值范围是(-
方法二
当n<1-
当n>1-
由于a2009小于数列{an}中的其他任何一项,即a2009+2小于数列{an+2}中的其他任何一项,
所以a2009+2<0,且a2010+2>0,
即2009<1-
即-2009<
即-
解得-
综上,a1的取值范围是(-