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已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．（1）求椭圆方程；（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200，求t

题目简介

已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．（1）求椭圆方程；（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200，求t

题目详情

已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．
（1）求椭圆方程；
（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200，求tan∠F1PF2的值；
（3）设A是椭圆的右顶点，在椭圆上是否存在点M（不同于点A），使∠F1MA=90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2•2t，∴a=2t，b2=a2-c2=3t2，
所以所求椭圆方程为
x2
4t2
+
y2
3t2
=1．
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则
d22
=
d21
+|F1F2|2-2d1|F1F2|cos1200
d1+d2=4t.

解方程组，得d1=class="stub"6
5
t，d2=class="stub"14
5
t．
由正弦定理，得class="stub"2t
sin∠F1PF2
=
class="stub"14t
5
sin1200
，∴sin∠F1PF2=
5
3
14
，∴tan∠F1PF2=
5
3
11
．
（3）若椭圆上存在一点M（x1，y1），使∠F1MA=90°，则|MF1|2+|MA|2=|AF1|2，即（x1+t）2+y12+（x1-2t）2+y12=（2t+t）2．
化简，得 x12+y12-tx1-2t2=0①
又    3t2x12+4t2y12=12t4②
由①、②，整理，得  x12-4tx1+4t2=0’，∴x1=2t，y1=0，
所以点M与右顶点A重合，矛盾．所以这样的M点是不存在的．

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