已知等差数列a,b,c中的三个数都是正数,且公差不为零,求证它们的倒数所组成的数列1a,1b,1c不可能成等差数列.-数学

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已知等差数列a,b,c中的三个数都是正数,且公差不为零,求证它们的倒数所组成的数列1a,1b,1c不可能成等差数列.-数学

题目详情

已知等差数列a,b,c中的三个数都是正数,且公差不为零,求证它们的倒数所组成的数列
1
a
1
b
1
c
不可能成等差数列.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明(反证法):假设class="stub"1
a
,class="stub"1
b
,class="stub"1
c
成等差数列,
class="stub"1
b
-class="stub"1
a
=class="stub"1
c
-class="stub"1
b
,即class="stub"a-b
ba
=class="stub"b-c
cb
两边乘以b,得class="stub"a-b
a
=class="stub"b-c
c

又∵a,b,c成等差数列,且公差不为零,
∴a-b=b-c≠0.由以上两式,可知class="stub"1
a
=class="stub"1
c

两边都乘以ac,得a=c、
这与已知数列a,b,c的公差不为零,a≠c相矛盾,
所以数列class="stub"1
a
,class="stub"1
b
,class="stub"1
c
不可能成等差数列

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