首页 > 数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），Sn=（m+1）-man对任意的n∈N*都成立，其中m为常数，且m＜-1．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）记数列{an}的公比为q，设q=f（m）．

数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），Sn=（m+1）-man对任意的n∈N*都成立，其中m为常数，且m＜-1．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）记数列{an}的公比为q，设q=f（m）．

题目简介

数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），Sn=（m+1）-man对任意的n∈N*都成立，其中m为常数，且m＜-1．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）记数列{an}的公比为q，设q=f（m）．

题目详情

数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），Sn=（m+1）-man对任意的n∈N*都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）记数列{an}的公比为q，设q=f（m）．若数列{bn}满足；b1=a1，bn=f（bn-1）（n≥2，n∈N*）．求证：数列{
1
bn
}是等差数列；
（3）在（2）的条件下，设cn=bn•bn+1，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜1．
题型：解答题难度：中档来源：海淀区二模

答案

（1）当n=1时，a1=S1=1，∵Sn=（m+1）-man，①
∴Sn-1=（m+1）-man-1（n≥2），②
①-②得：an=man-1-man（n≥2），
∴（m+1）an=man-1．∵a1≠0，m＜-1，
∴an-1≠0，m+1≠0，∴class="stub"an
an-1
=class="stub"m
m+1
(n≥2)．
∴数列an是首项为1，公比为class="stub"m
m+1
的等比数列．
（2）f(m)=class="stub"m
m+1
，b1=a1=1，bn=f(bn-1)=
bn-1
bn-1+1
，
∴class="stub"1
bn
=
b n-1+1
bn-1
，∴class="stub"1
bn
-class="stub"1
bn-1
=1(n≥2)，
∴数列{class="stub"1
bn
}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）得class="stub"1
bn
=n，则bn=class="stub"1
n
．cn=bn•bn+1=class="stub"1
n(n+1)
，
Tn=class="stub"1
1×2
+class="stub"1
2×3
+…+class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
1
-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
=1-class="stub"1
n+1
＜1．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网