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已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．（1）若数列{an}前三项成等差数列，求λ的值；（2）试判断数列{bn}

题目简介

已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．（1）若数列{an}前三项成等差数列，求λ的值；（2）试判断数列{bn}

题目详情

已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
2
3
an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．
（1）若数列{an}前三项成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a1=λ，∴a2=class="stub"2
3
a1+1=class="stub"2
3
λ+1，a3=class="stub"2
3
a2+2=class="stub"2
3
(class="stub"2
3
λ+1)+2=class="stub"4
9
λ+class="stub"8
3
．
∵数列{an}前三项成等差数列，∴2a2=a1+a3，
∴2(class="stub"2
3
λ+1)=λ+class="stub"4
9
λ+class="stub"8
3
，解得λ=-6．
∴λ的值为-6．
（2）由（1）可知：若λ=-6，则an=-6+3（n-1）=3n-9，此时bn=0不是等比数列；
当λ≠-6时，an≠3n-9．
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+9]=(-1)n+1(class="stub"2
3
an+n-3n+6)=-class="stub"2
3
×(-1)n(an-3n+9)=-class="stub"2
3
bn．
又b1=-（a1-3+9）=-λ-6≠0，
∴数列{bn}是以-λ-6为首项，-class="stub"2
3
为公比的等比数列．
（3）由（1）（2）可知：①当λ=-6时，bn=0，对于给定的0＜a＜b，对任意正整数n，0＜a＜Sn＜b不成立．
②当λ≠-6时，假设存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b成立．
由（2）可知：数列{bn}是以-λ-6为首项，-class="stub"2
3
为公比的等比数列，∴bn=(-λ-6)×(-class="stub"2
3
)n-1=(-1)n(λ+6)•(class="stub"2
3
)n-1．
∴Sn=（-λ-6）[1-class="stub"2
3
+(-class="stub"2
3
)2+…+(-class="stub"2
3
)n-1]=(-λ-6)•
1-(-class="stub"2
3
)n
1-(-class="stub"2
3
)
=
3(-λ-6)
5
[1-(-class="stub"2
3
)n]．
当n→+∞时，(-class="stub"2
3
)n→0．
当λ＞-6时，Sn＜0，此时对任意正整数n，a＜Sn＜b不成立．
当λ＜-6时，n=2k（k∈N*）时，∵class="stub"5
9
＜1-(-class="stub"2
3
)2k＜1，∴0＜class="stub"-λ-6
3
＜Sn＜
3(-λ-6)
5
；
n=2k-1（k∈N*）时，1＜1-(-class="stub"2
3
)2k-1＜class="stub"5
3
，∴0＜
3(-λ-6)
5
＜Sn＜(-λ-6)．
∵0＜class="stub"-λ-6
3
＜
3(-λ-6)
5
＜（-λ-6）．
∴对于任意正整数n，0＜class="stub"-λ-6
3
＜Sn＜-λ-6．
∵设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b．
∴必有
a≤class="stub"-λ-6
3
b≥-λ-6
，解得-6-b≤λ≤-3a-6.(a≤class="stub"b
3
)．

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