首页 > 已知：函数f(x)=xax+b(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=23，f(x)=x有唯一的根．（1）求a，b的值；（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{1an}

已知：函数f(x)=xax+b(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=23，f(x)=x有唯一的根．（1）求a，b的值；（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{1an}

题目简介

已知：函数f(x)=xax+b(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=23，f(x)=x有唯一的根．（1）求a，b的值；（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{1an}

题目详情

已知：函数f(x)=
x
ax+b
(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=
2
3
，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{
1
an
}为等差数列，并求出{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
1
2
．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：奉贤区一模

答案

（1）f(2)=class="stub"2
3
⇒class="stub"2
2a+b
=class="stub"2
3
 （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以class="stub"x
ax+b
=x即ax2+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：class="stub"x
ax+b
=x
x（class="stub"1
ax+b
-1）=0（1分）
　 x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：class="stub"1
ax+b
-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an=
an-1
an-1+1
⇒class="stub"1
an
-class="stub"1
an-1
=1 （2分）
∴{class="stub"1
an
 }为等差数列（1分）
∴class="stub"1
an
=class="stub"1
a1
+(n-1)×1=n （2分）
所以 an=class="stub"1
n
 （1分）
（3）设{bn} 的首项为class="stub"1
m
，公比为q （m∈N*，class="stub"1
q
∈N* ）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
class="stub"1
m
1-q
=class="stub"1
2
，class="stub"2
m
=1-q；
当m=3 时，q=class="stub"1
3
，bn=(class="stub"1
3
)n；
当m=4时，q=class="stub"1
2
，bn=(class="stub"1
2
)n+1 （6分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网