已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．（1）若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；（2）证明{an}不可能是等比数列；（3）若a1=-1，是否存在实数k和b使得数列

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已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，是否存在实数k和b使得数列{ a_n+kn+b}是等比数列，如存在，求出{a_n}的前n项和，若不存在，说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵an+1=2an+n+1，∴a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，
∵{an}是等差数列，∴2a2=a1+a3，∴2（2a1+2）=a1+（4a1+7），∴a1=-3，a2=-4
∴d=a2-a1=-1；
（2）证明：假设{an}是等比数列，则a22=a1a3
∴（2a1+2）2=a1（4a1+7），∴a1=-4，a2=-6，a3=-9，
∵a4=2a3+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{an}不可能是等比数列；
（3）假设存在，则有

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b

2an+k(n+1)+k+b+1

an+kn+b

=常数
∴

k+1=2k

k+b+1=2b

，∴

k=1

b=2

∴{an+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴an+n+2=2n，
∴an=2n-n-2
∴{an}的前n项和为

2(1-2n)

1-2

n(n+1)

-2n=2n-

-class="stub"5n

-1

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已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．（1）若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；（2）证明{an}不可能是等比数列；（3）若a1=-1，是否存在实数k和b使得数列

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