首页 > 已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．（I）证明：数列{an-12n}为等差数列；（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．（I）证明：数列{an-12n}为等差数列；（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学

题目简介

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．（I）证明：数列{an-12n}为等差数列；（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学

题目详情

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．
（I）证明：数列{
an-1
2n
}为等差数列；
（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）证明：∵a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）
∴an-1=2(an-1-1)+2n
∴
an-1
2n
=
2(an-1-1)+2n
2n

∴
an-1
2n
-
an-1-1
2n-1
=1
∵
a1-1
2
=2
∴数列{
an-1
2n
}是以2为首项，以1为公差的等差数列
（II）由（I）可得，
an-1
2n
=2+（n-1）=n+1
∴an-1=（n+1）•2n
∴Sn=2•21+3•22+…+（n+1）•2n
 2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1
两式相减可得，-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
4(1-2n-1)
1-2
-(n+1)•2n+1
=4+2n+1-4-（n+1）•2n+1
∴Sn=n•2n+1

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