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> 设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*)．（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有1Sm
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*)．（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有1Sm
题目简介
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*)．（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有1Sm
题目详情
设数列{a
n
}的各项均为正数，前n项和为S
n
，已知
4
S
n
=
a
2n
+2
a
n
+1(n∈
N
*
)
．
（1）证明数列{a
n
}是等差数列，并求其通项公式；
（2）证明：对任意m、k、p∈N
*
，m+p=2k，都有
1
S
m
+
1
S
p
≥
2
S
k
；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
题型：解答题
难度：中档
来源：闵行区一模
答案
（1）∵
4
S
n
=
a
2n
+2
a
n
+1
，∴当n≥2时，
4
S
n-1
=
a
2n-1
+2
a
n-1
+1
．
两式相减得
4
a
n
=
a
2n
-
a
2n-1
+2
a
n
-2
a
n-1
，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又
4
S
1
=
a
21
+2
a
1
+1
，∴a1=1，
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=2n-1；
（2）由（1）知
S
n
=
(1+2n-1)n
2
=
n
2
，
∴
S
m
=
m
2
，
S
k
=
k
2
，
S
p
=
p
2
，
于是
class="stub"1
S
m
+
class="stub"1
S
p
-
class="stub"2
S
k
=
class="stub"1
m
2
+
class="stub"1
p
2
-
class="stub"2
k
2
=
k
2
(
p
2
+
m
2
)-2
m
2
p
2
m
2
p
2
k
2
=
(
class="stub"m+p
2
)
2
(
p
2
+
m
2
)-2
m
2
p
2
m
2
p
2
k
2
≥
mp×2pm-2
m
2
p
2
m
2
p
2
k
2
=0
，
∴
class="stub"1
S
m
+
class="stub"1
S
p
≥
class="stub"2
S
k
；
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
S
n
=n
a
1
+
n(n-1)
2
d=
n(
a
1
+
a
n
)
2
，
于是
S
m
+
S
p
-2
S
k
=m
a
1
+
m(m-1)
2
d+p
a
1
+
p(p-1)
2
d-[2k
a
1
+k(k-1)d]
=
(m+p)
a
1
+
m
2
+
p
2
-m-p
2
d-(2k
a
1
+
k
2
d-kd)
，
将m+p=2k代入得，
S
m
+
S
p
-2
S
k
=
(m-p)
2
4
d≥0
，
∴Sm+Sp≥2Sk，
又
S
m
S
p
=
mp(
a
1
+
a
m
)(
a
1
+
a
p
)
4
=
mp[
a
21
+(
a
m
+
a
p
)
a
1
+
a
m
a
p
]
4
≤
(
class="stub"m+p
2
)
2
[
a
21
+2
a
1
a
k
+
(
a
m
+
a
p
2
)
2
]
4
=
k
2
(
a
1
2
+2
a
1
a
k
+
a
2k
)
4
=
k
2
(
a
1
+
a
k
)
2
4
=
S
2k
，
∴
class="stub"1
S
m
+
class="stub"1
S
p
=
S
m
+
S
p
S
m
S
p
≥
2
S
k
S
2k
=
class="stub"2
S
k
．
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等差数列{an}中，a3=-1，a11=-17，则a7等于（）A．-9B．-8C．-92D．-4-数学
在等差数列（an）中，已知an=-2n+9，则当n=______时，前n项和Sn有最大值．-数学
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题目简介
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*)．（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有1Sm
题目详情
（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；
（2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
答案
两式相减得4an=
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又4S1=
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=2n-1；
（2）由（1）知Sn=
∴Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2，
于是
=
∴
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn=na1+
于是Sm+Sp-2Sk=ma1+
=(m+p)a1+
将m+p=2k代入得，Sm+Sp-2Sk=
∴Sm+Sp≥2Sk，
又SmSp=
=
∴