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正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差数列．（1）证明数列{an}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．-数学

题目简介

正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差数列．（1）证明数列{an}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．-数学

题目详情

正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差数列．
（1）证明数列{an}中有无穷多项为无理数；
（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．
题型：解答题难度：中档来源：江西

答案

（1）证明：由已知有：an2=1+24（n-1），从而an=
1+24(n-1)
，
方法一：取n-1=242k-1，则an=
1+242k
(k∈N+)
用反证法证明这些an都是无理数．
假设an=
1+242k
为有理数，则an必为正整数，且an＜24k，
故an-24k≥1．an-24k＞1，与（an-24k）（an+24k）=1矛盾，
所以an=
1+242k
(k∈N+)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数；
（2）要使an为整数，由（an-1）（an+1）=24（n-1）可知：
an-1，an+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时，有an2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必为偶数，所以an=6m+1（m∈N）满足an2=1+24（n-1）
即n=
m(3m+1)
2
+1（m∈N）时，an为整数；
同理an=6m-1（m∈N+）有an2=36m2-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N+）
也满足an2=1+24（n-1），即n=
m(3m-1)
2
+1（m∈N+）时，an为整数；
显然an=6m-1（m∈N+）和an=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；
所以当n=
m(3m+1)
2
+1（m∈N）和n=
m(3m-1)
2
+1（m∈N+）时，an为整数；
由an=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由an=6m-1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．
设an中满足an＜200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=class="stub"5+197
2
×33+class="stub"1+199
2
×34=6733

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