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设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an)2，证明{an}是等差数列．-数学

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an)2，证明{an}是等差数列．-数学

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=
n(a1+an)
2
，证明{an}是等差数列．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：法一：
令d=a2-a1．
下面用数学归纳法证明an=a1+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1．
当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，ak=a1+（k-1）d．由题设，有
Sk=
k(a1+ak)
2
，Sk+1=
(k+1)(a1+ak+1)
2
，又Sk+1=Sk+ak+1
∴（k+1）
(a1+ak+1)
2
=
k(a1+ak)
2
+ak+1
把ak=a1+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k-1）d+2ak+1．
整理得（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d．
∵k≥2，∴ak+1=a1+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn-1=
(n-1)(a1+an-1)
2
，Sn=
n(a1+an)
2
．
所以an=Sn-Sn-1=
n(a1+an)
2
-
(n-1)(a1+an-1)
2

同理有
an+1=
(n+1)(a1+an-1)
2
-
n(a1+an)
2
．
从而
an+1-an=
(n+1)(a1+an-1)
2
-n（a1+an）+
(n-1)(a1+an-1)
2
，
整理得an+1-an=an-an-1═a2-a1
从而{an}是等差数列．

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