首页 > 已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，n∈N*．（1）求证：{1an-1}是等差数列；并求数列{an}的通项公式；（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜ω，则称该数列为“

已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，n∈N*．（1）求证：{1an-1}是等差数列；并求数列{an}的通项公式；（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜ω，则称该数列为“

题目简介

已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，n∈N*．（1）求证：{1an-1}是等差数列；并求数列{an}的通项公式；（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜ω，则称该数列为“

题目详情

已知数列{an}中，a1=0，an+1=
1
2-an
，n∈N*．
（1）求证：{
1
an-1
}是等差数列；并求数列{an}的通项公式；
（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列bn=an•(-
4
5
)n，n∈N*是否为一个“
2
3
域收敛数列”，请说明你的理由．
题型：解答题难度：中档来源：普陀区一模

答案

证：（1）因为class="stub"1
an+1-1
=class="stub"1
class="stub"1
2-an
-1
=
2-an
an-1
=-1+class="stub"1
an-1
，
所以class="stub"1
an+1-1
-class="stub"1
an-1
=-1，n∈N*；
故{class="stub"1
an-1
}是等差数列．
由此可得，class="stub"1
an-1
=class="stub"1
a1-1
+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=1-class="stub"1
n
=class="stub"n-1
n
，n∈N*．
（2）由条件bn=an•(-class="stub"4
5
)n，
可知当n=2k，bn＞0；当n=2k-1时，bn≤0，k∈N*．
令|bn|=an•(class="stub"4
5
)n，则|bn+1|-|bn|=class="stub"n
n+1
•(class="stub"4
5
)n+1-class="stub"n-1
n
•(class="stub"4
5
)n=(class="stub"4
5
)n[class="stub"4
5
•class="stub"n
n+1
-class="stub"n-1
n
]=(class="stub"4
5
)n•
-n2+5
5n(n+1)
．
∴当-n2+5＞0⇒n≤2时，|bn+1|＞|bn|；
同理可得，当-n2+5＜0⇒n≥3时，|bn+1|＜|bn|；
即数列{|bn|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；
即|b3|是数列{|bn|}的最大项．
然而，因为{bn}的奇数项均为-|bn|，故b3=-class="stub"2
3
•(class="stub"4
5
)3=-class="stub"128
375
为数列{bn}的最小项；
而b2=class="stub"1
2
(class="stub"4
5
)2=class="stub"8
25
=0.32，b4=class="stub"3
4
•(class="stub"4
5
)4=class="stub"192
625
=0.3072，
所以b2＞b4，故b2是数列{bn}的最大项．
∴对任意的正整数m、n，|bn-bm|≤|b2-b3|=|class="stub"8
25
+class="stub"128
375
|=class="stub"248
375
＜class="stub"2
3
，
∴数列bn=an•(-class="stub"4
5
)n，n∈N*是一个“class="stub"2
3
域收敛数列”．

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