已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),且存在实数λ使得{an+λ2n}为等差数列,则{an}的通项公式是an=______.-数学

题目简介

已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),且存在实数λ使得{an+λ2n}为等差数列,则{an}的通项公式是an=______.-数学

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已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),且存在实数λ使得{
an
2n
}
为等差数列,则{an}的通项公式是an=______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

假设存在一个实数λ符合题意,则
an
2n
-
an-1
2n-1
必为与n无关的常数
an
2n
-
an-1
2n-1
=
an-2an-1
2n
=
2n-1-λ
2n
=1-class="stub"1+λ
2n

要使
an
2n
-
an-1
2n-1
是与n无关的常数,则class="stub"1+λ
2n
=0
,得λ=-1
故存在一个实数λ=-1,使得数列{
an
2n
}
为等差数列
由①知数列{
an
2n
}
的公差d=1,
an-1 
2n
=
a1-1
21
+(n-1)•1=n.
得an=n•2n+1
故答案为:n•2n+1.

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