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设数列{an}的通项公式为an=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=-3，求b10；（2）若a=2，b

题目简介

设数列{an}的通项公式为an=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=-3，求b10；（2）若a=2，b

题目详情

设数列{an}的通项公式为an=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b10；
（2）若a=2，b=-1，求数列{bm}的前2m项和公式；  
（3）是否存在a和b，使得bm=3m+2(m∈N*)？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得，an=an+b=2n-3，令an=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴an=an+b=2n-1，对于正整数，令an≥m，求得 n≥class="stub"m+1
2
．
根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=
m(m+1)
2
+
m(m+3)
2
=m2+2m．
 （3）假设存在a和b满足条件，∵bm=3m+2（m∈N*），
根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥class="stub"m-b
a
．
对于任意的正整数m，都有3m+1＜class="stub"m-b
a
≤3m+2恒成立，即-2a-b≤（3a-1）m＜-a-b恒成立．
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜-class="stub"a+b
3a-1
 （或m≤-class="stub"2a+b
3a-1
），这与m是任意的正整数相矛盾．
当3a-1=0时，a=class="stub"1
3
，可得-class="stub"2
3
-b≤0＜-class="stub"1
3
-b，即-class="stub"2
3
≤b＜-class="stub"1
3
，进过检验，满足条件．
综上，存在a和b，使得bm=3m+2(m∈N*)，此时，a=class="stub"1
3
，且-class="stub"2
3
≤b＜-class="stub"1
3
．

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