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设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差

题目简介

设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差

题目详情

设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
9
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
符号意义本试卷所用符号等同于《实验教材》符号
向量坐标
a
={x，y}
a
=（x，y）
正切tgtan
题型：解答题难度：中档来源：上海

答案

（1）a1=|OP1|2=9，由S3=class="stub"3
2
（a1+a3）=162，得a3=|OP3|3=99．
由
x2
9
-y2=1
x2+ y2=99
得
x2=90
y2=9

∴点P3的坐标可以为（3
10
，3）．
（2）对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OPk|2=（k-1）d，
及
y2k
=2pxk
x2k
+
y2k
=(k-1)d

即（xk+p）2=p2+（k-1）d，
∴（x1+p）2，（x2+p）2，…（xn+p）2是首项为p2，公差为d的等差数列．
（3）原点O到二次曲线
C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a1=|OP1|2=a2，∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n-1）d≥b2，
∴
b2-a2
n-1
≤d＜0．∵n≥3，
n(n-1)
2
＞0
∴Sn=na2+
n(n-1)
2
d在[
b2-a2
n-1
，0）上递增，
故Sn的最小值为na2+
n(n-1)
2
•
b2-a2
n-1
=
n(a2+b2)
2
．

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