首页 > 已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明Sn+1Sn≤136(n∈N*)．-数学

已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明Sn+1Sn≤136(n∈N*)．-数学

题目简介

已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明Sn+1Sn≤136(n∈N*)．-数学

题目详情

已知首项为
3
2
的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 证明Sn+
1
Sn
≤
13
6
(n∈N*)．
题型：解答题难度：中档来源：天津

答案

（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
∵-2S2，S3，4S4等差数列，
∴2S3=-2S2+4S4，即S4-S3=S2-S4，
得2a4=-a3，∴q=-class="stub"1
2
，
∵a1=class="stub"3
2
，∴an=class="stub"3
2
•(-class="stub"1
2
)n-1=(-1)n-1•class="stub"3
2n
；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，Sn=
class="stub"3
2
[1-(-class="stub"1
2
)n]
1+class="stub"1
2
=1-(-class="stub"1
2
)n，
∴Sn+class="stub"1
Sn
=1-(-class="stub"1
2
)n+class="stub"1
1-(-class="stub"1
2
)n
，
当n为奇数时，Sn+class="stub"1
Sn
=1+(class="stub"1
2
)n+class="stub"1
1+(class="stub"1
2
)n
=1+class="stub"1
2n
+
2n
1+2n
=2+class="stub"1
2n(2n+1)
，
当n为偶数时，Sn+class="stub"1
Sn
=1-(class="stub"1
2
)n+class="stub"1
1-(class="stub"1
2
)n
=2+class="stub"1
2n(2n-1)
，
∴Sn+class="stub"1
Sn
随着n的增大而减小，
即Sn+class="stub"1
Sn
≤S1+class="stub"1
S1
=class="stub"13
6
，且Sn+class="stub"1
Sn
≤S2+class="stub"1
S2
=class="stub"25
12
，
综上，有Sn+class="stub"1
Sn
≤class="stub"13
6
(n∈N*)成立．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网