首页 > 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；（2）若Sn2-λTn＜0对n

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；（2）若Sn2-λTn＜0对n

题目简介

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；（2）若Sn2-λTn＜0对n

题目详情

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．
（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若Sn2-λTn＜0对n∈N*恒成立，求λ的最小值；
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，求正整数x，y的值．
题型：解答题难度：中档来源：宿迁一模

答案

（1）因为(Sn-2)2+3Tn=4，
其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列{
a2n
}的前n项和，且an＞0，
当n=1时，由(a1-2)2+3a12=4，
解得a1=1，…（2分）
当n=2时，由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4，
解得a2=class="stub"1
2
； …（4分）
由(Sn-2)2+3Tn=4，
知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，
两式相减得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3
a2n+1
=0，
即(Sn+1+Sn-4)+3
a n+1
=0，…（5分）
亦即2Sn+1-Sn=2，从而2Sn-Sn-1=2，（n≥2），
再次相减得an+1=class="stub"1
2
an，(n≥2)，又a2=class="stub"1
2
a1，
所以
an+1
an
=class="stub"1
2
，(n≥1)
所以数列{an}是首项为1，公比为class="stub"1
2
的等比数列，…（7分）
其通项公式为an=class="stub"1
2n-1
，n∈N*．…（8分）
（2）由（1）可得Sn=
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
=2[1-(class="stub"1
2
)n]，
Tn=
1-(class="stub"1
4
)n
1-class="stub"1
4
=class="stub"4
3
[1-(class="stub"1
4
)n]，…（10分）
若Sn2-λTn＜0对n∈N*恒成立，
只需λ＞
Sn2
Tn
=3×
1-(class="stub"1
2
)n
1+(class="stub"1
2
)n
=3-class="stub"6
2n+1
对n∈N*恒成立，
∵3-class="stub"6
2n+1
＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x，y为正整数，
则class="stub"1
2n-1
，
2x
2n
，
2y
2n+1
成等差数列，
整理，得2x=1+2y-2，
当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，
等式不能成立，
∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网