首页 > 已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1(n≥2)，bn=2nan．（1）证明：1an-1an-1=12；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．-

已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1(n≥2)，bn=2nan．（1）证明：1an-1an-1=12；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．-

题目简介

已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1(n≥2)，bn=2nan．（1）证明：1an-1an-1=12；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．-

题目详情

已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且
an-1-an
anan-1
=
an-an+1
anan+1
(n≥2)，bn=
2n
an
．
（1）证明：
1
an
-
1
an-1
=
1
2
；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
an-1-an
anan-1
=
an-an+1
anan+1
(n≥2)
∴数列{
an-1-an
anan-1
}为常数列
∴
an-1-an
anan-1
=class="stub"1
an
-class="stub"1
an-1
=
a1-a2
a2a1
=class="stub"1
2
  （n≥2）
∴class="stub"1
an
-class="stub"1
an-1
=class="stub"1
2

（2）由（1）知{class="stub"1
an
}是以class="stub"1
2
为首项，class="stub"1
2
为公差的等差数列，
∴class="stub"1
an
=class="stub"n
2
，
∴bn=
2n
an
=n×2n-1
∴Sn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n，
∴-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=
1-2n
1-2
-n×2n=(1-n)2n-1，
∴Sn=（n-1）2n+1．

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