已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且bn=Snn+c，求非零常数c；（3）若（2）

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已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）若数列b_n是等差数列，且bn=

n+c

，求非零常数c；
（3）若（2）中的b_n的前n项和为T_n，求证：2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

题型：解答题难度：中档来源：烟台二模

答案

（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0
∴a3=9，a4=13
∴

a1+2d=9

a1+3d=13

∴d=4，a1=1
∴an=1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知，sn=n+

n(n-1)×4

=2n2-n
∵bn=

n+c

2n2-n

c+n

∴b1=class="stub"1

1+c

，b2=class="stub"6

2+c

，b3=class="stub"15

3+c

，
∵bn是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，
∴c=-class="stub"1

（c=0舍去），
（3）由（2）得bn=

2n2-n

n-class="stub"1

=2n，Tn=2n+

n(n-1)×2

=n2+n=(n+1)n
2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4≥4，
但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4＞4，

∴

64bn

(n+9)bn+1

=class="stub"64×2n

(n+9)•2(n+1)

=class="stub"64n

n2+10n+9

=class="stub"64

n+class="stub"9

+10

≤4，
n=3时取等号（15分）
（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

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已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且bn=Snn+c，求非零常数c；（3）若（2）

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