首页 > 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：数列{b

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：数列{b

题目简介

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：数列{b

题目详情

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）证明：
n
2
-
1
3
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
(n∈N*)．
题型：解答题难度：中档来源：福建

答案

（I）∵an+1=2an+1（n∈N*），
∴an+1+1=2（an+1），
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1=2n．
即an=2n-1∈N*）．
（II）证明：∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)
∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn．
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①
2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1．②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
即（n-1）bn+1-nbn+2=0，nbn+2-（n+1）bn+1+2=0．
③-④，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
∴{bn}是等差数列．
（III）证明：∵
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=
2k-1
2(2k-class="stub"1
2
)
＜class="stub"1
2
，k=1，2，，n，
∴
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
＜class="stub"n
2
．
∵
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=class="stub"1
2
-class="stub"1
2(2k+1-1)
=class="stub"1
2
-class="stub"1
3.2k+2k-2
≥class="stub"1
2
-class="stub"1
3
.class="stub"1
2k
，k=1，2，，n，
∴
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
≥class="stub"n
2
-class="stub"1
3
(class="stub"1
2
+class="stub"1
22
++class="stub"1
2n
)=class="stub"n
2
-class="stub"1
3
(1-class="stub"1
2n
)＞class="stub"n
2
-class="stub"1
3
，
∴class="stub"n
2
-class="stub"1
3
＜
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
＜class="stub"n
2
(n∈N*)．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网