设等比数列{an}的首项a1=256，前n项和为Sn，且Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列．（Ⅰ）求{an}的公比q；（Ⅱ）用Πn表示{an}的前n项之积，即Πn=a1•a2…an，试比较Π7、Π8、

题目简介

设等比数列{a_n}的首项a₁=256，前n项和为S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n项之积，即Πn=a₁•a₂…a_n，试比较Π₇、Π₈、Π₉的大小．

题型：解答题难度：中档来源：深圳二模

（Ⅰ）解法一：∵Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+an+1+an+2，
由已知2Sn+2=Sn+Sn+1，…（4分）
得：2（Sn+an+1+an+2）=Sn+（Sn+an+1），∴an+2=-class="stub"1

an+1，∴{an}的公比q=-class="stub"1

．…（8分）
解法二：由已知2Sn+2=Sn+Sn+1，…（2分）
当q=1时，Sn+2=（n+2）a1，Sn+1=（n+1）a1，Sn=na1，
则2（n+2）a1=（n+1）a1+na1，⇒a1=0与{an}为等比数列矛盾； …（4分）
当q≠1时，则2•

a1(1-qn+2)

1-q

a1(1-qn)

1-q

a1(1-qn+1)

1-q

，
化简得：2qn+2=qn+qn+1，∵qn≠0，∴2q2=1+q，∴q=-class="stub"1

…（8分）
（Ⅱ）∵a1=28， q=-class="stub"1

，则有：a2=-27，a3=26，a4=-25，a5=24，a6=-23，a7=22，a8=-2，a9=1，…∴Π7＜0…（11分）Π8=Π9＞0…（13分）∴Π7＜Π8=Π9…（14分）