设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的公比q；（Ⅱ）求证：a3，a9，a6成等差数列；（Ⅲ）当am，as，（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等

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设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求证：a₃，a₉，a₆成等差数列；
（Ⅲ）当a_m，a_s，（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，求m+s+t的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，
∵2S9≠S3+S6，∴S3，S9，S6不成等差数列，与已知矛盾，
∴q≠1．（2分）
由2S9=S3+S6得：2•

a1(1-q9)

1-q

a1(1-q3)

1-q

a1(1-q6)

1-q

，（4分）
即2（1-q9）=（1-q3）+（1-q6）⇒2q6-q3-1=0，
∴q3=-class="stub"1

⇒q=-

class="stub"1

，q3=1⇒q=1（舍去），∴q=-

3	4

（6分）
（Ⅱ）∵2a9-a3-a6=2a1q8-a1q2-a1q5=a1q2（2q6-1-q3）=0，
∴2a9=a3+a6，∴a3，a9，a6成等差数列．（9分）
（Ⅲ）S3，S9，S6成等差数列⇔2q6-q3-1=0⇔2q6=q3+1⇔2a1q6=a1q3+a1⇔2a7=a4+a1，
∴a1，a7，a4成GP或a4，a7，a1成GP，则m+s+t=12，（11分）
同理：a2，a8，a5成GP或a5，a8，a2成GP，
则m+s+t=15，a3，a9，a6成GP或a6，a9，a3成GP，
则m+s+t=18，a4，a10，a7成GP或a7，a10，a4成GP，
则m+s+t=21，∴m+s+t的值为12，15，18，21．　（15分）

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设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的公比q；（Ⅱ）求证：a3，a9，a6成等差数列；（Ⅲ）当am，as，（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等

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