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已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．（I）证明：m+h=2k；（II）证明：Sm•Sh≤Sk2；（III）若Sm、Sk、Sh也在等差数列

题目简介

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．（I）证明：m+h=2k；（II）证明：Sm•Sh≤Sk2；（III）若Sm、Sk、Sh也在等差数列

题目详情

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．
（I）证明：m+h=2k；
（II）证明：Sm•Sh≤Sk2；
（III）若
Sm
、
Sk
、
Sh
也在等差数列，且a1=a，求数列的前n项和．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）证明：设数列{an}的公差为d，由题意a1＜0，d＞0．
∵ah-ak=ak-am，
∴（h-k）d=（k-m）d，
∴m+h=2k．
（II）证明：Sm•Sh=
m(a1+am)
2
•
h(a1+ah)
2
=class="stub"mh
4
(a1+am)(a1+ah)≤class="stub"1
4
•[class="stub"m+h
2
]2[
a1+am+a1+ah
2
]2=class="stub"1
4
(a1+ak)2k2=[
(a1+ak)k
2
]2=
S2k
，
∴Sm•Sh≤Sk2．
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a1，a2，a3满足a3-a2=a2-a1．
由
Sm
、
Sk
、
Sh
也成等差数列，则
a1
+
3a1+3d
=2
2a1+d
．
两边平方得2
a1(3a1+3d)
=4a1+d，
再两边平方整理得4a12-4a1d+d2=0，即（2a1-d）2=0，
∴d=2a1=2a．∴an=（2n-1）a，Sn=n2a，

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