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设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bn，(n∈N*)，b2=2b1．（I）若b3=3，求b1的值；（II）求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列；（III）设数列{Tn}满足：Tn+1=

题目简介

设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bn，(n∈N*)，b2=2b1．（I）若b3=3，求b1的值；（II）求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列；（III）设数列{Tn}满足：Tn+1=

题目详情

设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bn，(n∈N*)，b2=2b1．
（I）若b3=3，求b1的值；
（II）求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列；
（III）设数列{Tn}满足：Tn+1=Tnbn+1(n∈N*)，且T1=b1=-
1
2
，若存在实数p，q，对任意n∈N*都有p≤T1+T2+T3+…+Tn＜q成立，试求q-p的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵bn+2=-bn+1-bn，
∴b3=-b2-b1=-3b1=3，
∴b1=-1．（3分）
（Ⅱ）∵bn+2=-bn+1-bn①
∴bn+3=-bn+2-bn+1②，
②-①得bn+3=bn （5分）
∴（bn+1bn+2bn+3+n+1）-（bnbn+1bn+2+n）=bn+1bn+2（bn+3-bn）+1=1为常数
∴数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列． （7分）
（Ⅲ）∵Tn+1=Tn•bn+1=Tn-1bnbn+1=Tn-2bn-1bnbn+1=…=b1b2b3…bn+1
当n≥2时Tn=b1b2b3…bn（*），当n=1时T1=b1适合（*）式
∴Tn=b1b2b3…bn（n∈N*）． （9分）
∵b1=-class="stub"1
2
，b2=2b1=-1，b3=-3b1=class="stub"3
2
，bn+3=bn，
∴T1=b1=-class="stub"1
2
，T2=T1b2=class="stub"1
2
，
T3=T2b3=class="stub"3
4
，T4=T3b4=T3b1=class="stub"3
4
T1，
T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=class="stub"3
4
T2，T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=class="stub"3
4
T3，
…T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3nb3n+1+T3n-1b3nb3n+1b3n+2+T3nb3n+1b3n+2b3n+3
=T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3nb1b2b3=class="stub"3
4
(T3n-2+T3n-1+T3n)，
∴数列{T3n-2+T3n-1+T3n}(n∈N*)是等比数列
首项T1+T2+T3=class="stub"3
4
且公比q=class="stub"3
4
 （11分）
记Sn=T1+T2+T3+…+Tn
①当n=3k（k∈N*）时，Sn=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k-2+T3k-1+T3k）=
class="stub"3
4
[1-(class="stub"3
4
)k]
1-class="stub"3
4
=3[1-(class="stub"3
4
)k]
∴class="stub"3
4
≤Sn＜3； （13分）
②当n=3k-1（k∈N*）时Sn=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k-2+T3k-1+T3k）-T3k
=3[1-(class="stub"3
4
)k]-(b1b2b3)k=3-4•(class="stub"3
4
)k
∴0≤Sn＜3； （14分）
③当n=3k-2（k∈N*）时Sn=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k-2+T3k-1+T3k）-T3k-1-T3k
=3[1-(class="stub"3
4
)k]-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k=3[1-(class="stub"3
4
)k]-class="stub"1
2
(class="stub"3
4
)k-1-(class="stub"3
4
)k=3-class="stub"14
3
•(class="stub"3
4
)k
∴-class="stub"1
2
≤Sn＜3 （15分）
综上得-class="stub"1
2
≤Sn＜3则p≤-class="stub"1
2
且q≥3，
∴q-p的最小值为class="stub"7
2
． （16分）

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