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已知数列{an}满足an+1=2anan+2，an≠0，且a1=12，cn=(2-2anan)(12)n(n∈N*)．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求通项an；（Ⅱ）求Tn=c1+c2+…+

题目简介

已知数列{an}满足an+1=2anan+2，an≠0，且a1=12，cn=(2-2anan)(12)n(n∈N*)．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求通项an；（Ⅱ）求Tn=c1+c2+…+

题目详情

已知数列{an}满足an+1=
2an
an+2
，an≠0，且a1=
1
2
，cn=(
2-2an
an
)(
1
2
)n(n∈N*)．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}是等差数列，并求通项an；
（Ⅱ）求Tn=c1+c2+…+cn的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵an+1=
2an
an+2
，an≠0，
class="stub"1
an+1
=class="stub"1
an
+class="stub"1
2
，
数列{class="stub"1
an
}是首项为class="stub"1
a1
=2，公差为class="stub"1
2
的等差数列，
故class="stub"1
an
=class="stub"1
a1
+class="stub"1
2
(n-1)=class="stub"1
2
n+class="stub"3
2

所以数列{an}的通项公式为an=class="stub"2
n+3
，
（Ⅱ）∵Cn=(n+1)•(class="stub"1
2
)n
∴Tn=2×class="stub"1
2
+3×(class="stub"1
2
)2+…+(n+1)×(class="stub"1
2
)n①
class="stub"1
2
Tn=       2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3+…+(n+1)×(class="stub"1
2
)n+1②
由①-②得class="stub"1
2
Tn =1+(class="stub"1
2
)2+…+(class="stub"1
2
)n-(n+1)(class="stub"1
2
)n+1

=1+
class="stub"1
4
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-(n+1)•(class="stub"1
2
)n+1
=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n+1


∴Tn=3-class="stub"n+3
2n

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