设数列{an}满足a1=0,4aa+1=4an+24an+1+1,令bn=4an+1.(1)试判断数列{bn}是否为等差数列?(2)若cn=1an+1,求{cn}前n项的和Sn;(3)是否存在m,n(

题目简介

设数列{an}满足a1=0,4aa+1=4an+24an+1+1,令bn=4an+1.(1)试判断数列{bn}是否为等差数列?(2)若cn=1an+1,求{cn}前n项的和Sn;(3)是否存在m,n(

题目详情

设数列{an}满足a1=0,4aa+1=4an+2
4an+1
+1
,令bn=
4an+1

(1)试判断数列{bn}是否为等差数列?
(2)若cn=
1
an+1
,求{cn}前n项的和Sn
(3)是否存在m,n(m,n∈N*,m≠n)使得1,am,an三个数依次成等比数列?若存在,求出m,n;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知得an+1+class="stub"1
4
=an+class="stub"1
4
+
an+class="stub"1
4
+class="stub"1
4

4an+1+=4an+1+2
4an+1
+1

bn=
4an+1

所以bn+12=bn2+2bn+1
∴bn+1=bn+1,
所以数列{bn}为等差数列;
(2)由(1)得:bn+1=bn+1且b1=1,∴bn=n,
4an+1
=n
,∴an=
n2-1
4

cn=class="stub"1
an+1
=class="stub"4
n(n+2)
=2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)

Sn=c1+c2+… +cn=2(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
2
-class="stub"1
4
+
…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)
=2(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)=3-
2(2n+3)
(n+1)(n+2)

(3)设存在m,n满足条件,则有1•an=am2
n2-1
4
=(
m2-1
4
)
2

即4(n2-1)=(m2-1)2,
所以m2-1必为偶数,设为2t,
则n2-1=t2,∴n2-t2=1
∴(n-t)(n+t)=1,
∴有
n+t=1
n-t=1
n+t=-1
n-t=-1
,即n=1,t=0,
∴m2-1=2t=0,∴m=1与已知矛盾.
∴不存在m,n(m,n∈N*,m≠n)使得1,am,an三个数依次成等比数列.

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